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台灣大學 · 醫學檢驗暨生物技術學系 · 轉學考考古題 · 民國107年（2018年）

107 年度 微積分(C)

台灣大學 · 醫學檢驗暨生物技術學系 · 轉學考

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第 1 題10 分
lim⁡x→∞(3x+9x2−x)=?\lim\limits_{x \to \infty} \left(3x + \sqrt{9x^2 - x}\right) = ?
第 2 題10 分
(1−14)(1−19)(1−116)⋯(1−1n2)⋯=?\left(1 - \frac{1}{4}\right)\left(1 - \frac{1}{9}\right)\left(1 - \frac{1}{16}\right)\cdots\left(1 - \frac{1}{n^2}\right)\cdots = ?
第 3 題10 分
Cardioid x=2sin⁡θ−sin⁡2θx = 2\sin\theta - \sin 2\theta, y=2cos⁡θ−cos⁡2θy = 2\cos\theta - \cos 2\theta. Find its total length.
第 4 題10 分
When x=2sin⁡θ−sin⁡2θx = 2\sin\theta - \sin 2\theta and y=2cos⁡θ−cos⁡2θy = 2\cos\theta - \cos 2\theta, determine d2y/dx2d^2y/dx^2 at θ=π/3\theta = \pi/3.
第 5 題10 分
Consider y=x/(1+kx)y = x/(1 + kx) which is a family of hyperbolas. Find its orthogonal trajectories.
第 6 題10 分
When x3+y3+z3−3xyz=1x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 1, derive ∂z/∂x\partial z/\partial x and ∂z/∂y\partial z/\partial y.
第 7 題10 分
When f(x,y)=2xy−12(x4+y4)+1f(x,y) = 2xy - \frac{1}{2}(x^4 + y^4) + 1, find local maxima, local minima, and saddle points.
第 8 題10 分
Find the volume determined by x2+y2+z2≤1x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 and x2+y2≤yx^2 + y^2 \leq y.
第 9 題10 分
When x2+y2=z2x^2 + y^2 = z^2 and x+2z=4x + 2z = 4, determine the maximum value of zz.
第 10 題10 分
Ω={(x,y)∣x≥0,y≥0,x+y≥3}\Omega = \{(x,y)|x \geq 0, y \geq 0, x + y \geq 3\}. Find ∬Ωe−xe−ydxdy\iint_\Omega e^{-x}e^{-y} dx dy.
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