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成功大學 77 年度 微積分

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第 1 題10 分
求下列極限：
(a)5 分
lim⁡x→0x2\lim\limits_{x \to 0} x^2
(b)5 分
lim⁡n→∞nn2+1\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 + 1}
第 2 題10 分
試問級數 ∑n=1∞1n1+x\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+x}} 是否收斂？理由為何？若 f(x)=xsin⁡xf(x) = x^{\sin x} 求 f′(x)f'(x)。
第 3 題20 分
求下列積分值
(a)5 分
∫0π2esin⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{\sin x} dx
(b)5 分
∫−11sin⁡x2dx\int_{-1}^1 \sin x^2 dx
(c)5 分
∫02∫y2ex2dxdy\int_0^2 \int_y^2 e^{x^2} dx dy
(d)5 分
∫dx1+ex\int \frac{dx}{\sqrt{1+e^x}}
第 4 題15 分
參數曲線 {x=t−sin⁡ty=1−cos⁡t\begin{cases} x = t - \sin t \\ y = 1 - \cos t \end{cases} 在 [0,2π][0, 2\pi] 間之弧長。
(b)10 分
設曲線 CC 為 y2=x2+y2y^2 = x^2 + y^2 及 y^=1+x+y\hat{y} = 1 + x + y 之交點，求 CC 及此兩直線所圍成之面積
第 5 題15 分
設 f(x)={x2sin⁡1xx若 x≠00若 x=0f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x} & \text{若 } x \neq 0 \\ 0 & \text{若 } x = 0 \end{cases}
(a)5 分
問 ff 在 x=0x = 0 是否連續？理由為何？
(b)10 分
問 ff 在 x=0x = 0 是否可微？理由為何？
第 6 題10 分
有一燈塔距海岸線 3 公里，以每分鐘 2 圈旋轉。試問當燈光沿海岸線移動之速度。
第 7 題10 分
若函數 ff 對 y^\hat{y} 在 [a,b][a, b] 間連續且 f(a)<g(a)<f(b)<f(b)f(a) < g(a) < f(b) < f(b)。證明：存在 c∈(a,b)c \in (a, b) 使得 f(c)=g(c)f(c) = g(c)。
第 8 題10 分
以積分方法求橢圓 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 面積 (a>0,b>0)(a > 0, b > 0)。
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